Quants partits de 3×3 diferents es poden fer amb 6 jugadors?

Sé que quan parlem de mates i bàsquet normalment no ens referim a això, però ahir entrenant em van posar en un compromís amb aquesta pregunta que vaig contestar bé a mitges. Els companys deien respostes aleatòries amb no sé ben bé quina distribució:

-Son 27 perquè sis per treAi no!.. 24..

-No! són 36!!

-No són 9?

-És 3 a la 6 o 6 a la 3 no sé

-S’ha de fer 6x5x4…

-No és allò de 1+2+3+..?

Davant d’aquell batibull vaig dir 20 sense pensar-m’ho gaire, però em vaig equivocar. No era exactament la resposta que buscàvem

Resposta curta: Amb 6 jugadors es poden fer 20 equips de 3 persones, que equivaldrien a 10 partits diferents.

Resposta llarga: El primer que s’ha de saber és quants equips de k persones diferents es poden fer amb n jugadors. Això equival a les combinacions de n sobre k:

Equips=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Recordem que n! = nx(n-1)x(n-2)x…x2x1, per exemple, 5!=5x4x3x2x1=120.

La part complicada ve ara, quants partits es poden fer? En l’exemple inicial sembla que siguin la meitat, però no és exactament així. Haurem de seleccionar dos equips on cap jugador es repeteixi.

Si pel primer equip “local” podiem triar entre n jugadors ara ens queden per triar n-k, això són \binom{n-k}{k} equips “visitants” possibles. Ara només queda multiplicar per tenir el nombre total de combinacions de partits, i si a més no ens importen locals i visitants ens haurem de desfer d’aquesta paritat dividint per 2:

Partits=\frac{\binom{n}{k}\binom{n-k}{k}}{2}=\frac{n!}{2(n-2k)! k!^{2}}

Si substituïu n per 6 i k per 3 podreu comprovar com els resultats corresponen a la resposta curta.

Si tinguéssim un jugador més els números canviarien molt, de fet podríem formar 35 equips i jugar 70 partits diferents. Vaja, casualment el nombre de partits ara és el doble que el d’equips i no com abans, que era la meitat.

Casos particulars:

  • k=N/2 “Som justos”

Aquesta és la situació que ens presenta el títol, quan no sobra ni falta ningú. Ex: som 8 i volem fer 4vs4. Si som N persones els partits que podrem fer són:

Partits=\frac{\binom{N}{N/2}\binom{N-1}{N/2}}{2}=\frac{\binom{N}{N/2}\binom{N/2}{N/2}}{2}=\frac{Equips}{2}

Aquest és l’únic cas en que els partits possibles són la meitat que els equips possibles.

  • k=1 “1 contra 1”

Aquest és el cas més factible de posar-lo en pràctica ja que el resultat és molt intuïtiu i el càlcul és ràpid. Si som N jugadors, els equips que podem fer són \binom{N}{1} =N (lògica aplastant) i els 1vs1 diferents que podem fer són

\frac{\binom{N}{1}\binom{N-1}{1}}{2}=\frac{N(N-1)}{2}= 1+2+3+...+(N-1)

Vaja que si seguim sent 6 jugadors i ara volem fer una competició de 1vs1 els diferents encreuaments possibles seran 5+4+3+2+1= 15 A aquesta conclusió podríem haver arribat sense tanta parafernàlia i amb més sentit comú:

  1. agafem un dels 6, que podrà jugar amb 5 diferents
  2. agafem un altre que podrà jugar amb tots menys amb l’anterior que havíem agafat això fan 4
  3. agafem un altre que li quedaran 3 per jugar
  4. agafem un altre que no haurà jugat amb 2
  5. agafem el penúltim que jugarà amb l’últim
  6. agafem l’últim i li donem un copet a l’esquena

Total: 5+4+3+2+1+copet a l’esquena = 15 partits

Si sabeu de combinatòria segurament això us semblarà una tonteria (potser si no en sabeu també) però mira potser algú dels 5 que mireu això aprèn quelcom que no sabia.

Si teniu alguna pregunta no dubteu en comentar i si voleu plantejar un altre problema endavant

Anuncis

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s